Cuando, a principios del siglo XIII, John conversó por primera vez con Constantina, no podía suponer que aquella muchacha de 19 años terminaría siendo, posiblemente, una de las personas más eruditas que tendría oportunidad de conocer. De Constantina (joven de clase acomodada, probablemente hija del entonces arzobispo de Atenas) se decía que su conocimiento científico era tan profundo que predecía con absoluta certeza pestilencias, tormentas, eclipses y terremotos. John Basingstoke, después estudiar en Oxford y viajar a París, se dejó instruir por ella durante el tiempo que permaneció en Grecia, lo que le llevaría a acumular conocimientos que luego difundiría en Inglaterra, y, por ende, en toda Europa.

Hacia 1235 John Basingstoke emprendió el viaje de regreso a su querida Inglaterra, llevando debajo del brazo varios pequeños tesoros del conocimiento. Se cree que uno de ellos era una ingeniosa fórmula para representar cantidades del 0 al 99 con un único glifo, inspirada en una antigua forma de taquigrafía griega. El invento permitía ganar tiempo y espacio frente a los engorrosos números romanos, conocidos desde hacía ya dos milenios. Basingstoke fue nombrado archidiácono de Leicester, y tuvo oportunidad de transmitir sus descubrimientos. Entonces los monjes empezaron a usar esos signos para numerar las páginas y los contenidos de los manuscritos. El sistema se fue difundiendo en años sucesivos por monasterios de toda Europa y tiempo después fue usado en otros ámbitos, aunque de forma más ocasional.

Las bonitas peripecias de Basingstoke en Grecia se conocen por el relato de Matthew Paris, monje benedictino e historiador del siglo XIII, que es quien lleva a la conclusión de que esa es la procedencia de este cifrado. Pero algunos investigadores ingleses proponen otra teoría que barre más para casa: que Basingstoke se trajo de Grecia el sistema numérico basado en el alfabeto (mucho más afín históricamente a la tradición griega) y lo combinó con una notaria ars, un tratado sobre caligrafía del año 1174 atribuido a un notario inglés llamado Juan de Tilbury, en el que antes del viaje de Basingstoke a Grecia ya aparecía una notación sospechosamente parecida.

De acuerdo con el modelo original de Basingstoke, sólo se podían anotar números del 1 al 99. El uso de este cifrado era muy limitado (no se conoce que los monjes lo usaran para aritmética ni contabilidad, únicamente para numerar notas, páginas, listas, etc.). Pero incluso circunscrito a este uso, pronto resultó claramente insuficiente, por lo que rápidamente se desarrollaría el cifrado cisterciense, una evolución algo más compleja que permitía, como veremos, anotar números del 1 al 9999. Este último fue ampliamente utilizado entre los siglos XIII y XV a juzgar por los escasos manuscritos cistercienses que se conservan en Inglaterra, Italia, Normandía y Suecia.

Al margen de la actividad monacal, existen históricamente otras muestras de uso de esta notación, como un tratado normando de aritmética de finales del siglo XV, o los grabados de un astrolabio del siglo XIV, fabricado en Francia. De hecho, cuando los monjes ya habían abandonado el sistema, esta forma de numeración fue utilizada hasta principios del siglo XVIII para anotar las mediciones de vino en bodegas de Brujas, en Bélgica. Ya con un fin sospechosamente más folklórico u oportunista, los Caballeros Rosacruces de París e incluso los nazis llegaron a reclamar este cifrado como parte de su simbolismo.

El cifrado de Basingstoke

Sin ninguna referencia, te puede parecer complicado, pero la idea es extremadamente simple: primero trazas la línea vertical. Todo lo que dibujes a la izquierda de la línea serán unidades, y lo que dibujes a la derecha serán decenas. Ahora mira en la plantilla de abajo cómo se representan los números del 1 al 9: verás que se usa un solo trazo cada vez, en tres ángulos distintos y en tres posiciones distintas. De esta manera puedes representar 9 cifras a la izquierda, en la parte de las unidades. Si lo replicas a la derecha, puedes representar todas las decenas posibles, del 10 al 90. Combinando ambas tienes todos los números posibles del 0 al 99 en un único glifo.

El cifrado cisterciense

Cuando el método de Basingstoke se demostró insuficiente para las cantidades que los monjes cistercienses tenían que contar, estos señores, que no eran tontos y tenían tiempo para pensar, cayeron en la cuenta de que no sólo se podía repartir el espacio de manera horizontal (izquierda y derecha), sino que era posible también hacerlo en vertical, dividiéndolo virtualmente también en zona superior e inferior. Entonces ya disponían de sitio para unidades, decenas, centenas y unidades de millar.

Ponte mentalmente el hábito religioso de finales del Medievo, un momentito: te darás cuenta enseguida de que, para hacerlo así, ya no puedes usar toda la mitad del espacio disponible para sólo 9 números, sino que necesitas «comprimir» la información en una notación un poco más compacta que ocupe sólo una de las cuatro áreas en las que has dividido el invento. Eso es lo que puedes ver en la tabla inferior: los números del 1 al 9 ocupan sólo el cuadrante superior derecho. Si reflejas horizontalmente los trazos a la izquierda, tienes las decenas. Si, en cambio, los reflejas hacia abajo (cuadrante inferior derecho) tienes las centenas, y si este último lo reflejas hacia la izquierda (cuadrante inferior izquierdo) tienes las unidades de millar. ¡Eureka!, que diría el sabio.

El más antiguo código de barras

Los monjes cistercienses habían conseguido una gesta notable para su tiempo: eran capaces de representar cifras entre 1 y 9999 con un único glifo y ocupando siempre el mismo espacio para cualquier número de ese intervalo. Ten en cuenta que la numeración convencional utilizada durante mucho tiempo seguía siendo la romana, a pesar de que los números arábigos ya se conocían. La economía que este sistema representaba era espectacular en una época en la que todo se hacía a mano (la imprenta de tipos móviles no se inventó hasta mediados del siglo XV), y el papel y el pergamino eran bienes muy valiosos.

Lo que los monjes habían hecho era inventar unas reglas básicas de trazo de líneas mucho más sencillas que las de la escritura convencional, creando una codificación tan fácilmente inteligible que podía transmitirse fácilmente a cualquier persona en cualquier idioma. Tan sencillo e ingenioso que incluso resulta relativamente fácil hacérselo entender a un ordenador. En efecto, siguiendo las mismas normas que diseñaron los monjes hace ocho siglos, nos ha sido posible diseñar para nuestra web una utilidad que permite mostrar inmediatamente el glifo en cifrado Basingstoke o cisterciense para cualquier número del intervalo.

En 1952 unos inventores norteamericanos tuvieron una idea parecida a la de los monjes, pero con una intención diferente: automatizar la lectura de esas líneas por parte de una máquina. Claro que la tecnología no estaba tan avanzada como ahora y, para ponérselo más sencillo a la máquina, en lugar de distribuir líneas en el espacio decidieron ponerlas todas paralelas y determinar la información que contenían mediante un barrido únicamente horizontal (por su grosor y por la proximidad entre ellas): había nacido el código de barras. Pero, por entonces, la informática estaba siendo alumbrada y los sistemas de lectura eran complicados, por lo que el código de barras sólo se usaba para identificar vagones de ferrocarril. Desde entonces, la historia del código de barras va ligada a la historia de la informática. Esto explica que hasta 1966 no se empezara a usar comercialmente para la catalogación, y hasta 1980 no tuviera auténtico éxito comercial.

La siguiente vuelta de tuerca se produjo en 1994, fecha en la que se desarrolló el Quick Response code (código de respuesta rápida), que te sonará más como código QR. Para entonces las máquinas ya eran capaces de leer la posición de una trama de puntos dentro de un espacio delimitado e identificable, lo que permitió «comprimir» más cantidad de datos en un cuadrito. Entonces se pasó de una distribución del espacio únicamente en horizontal a una distribución en horizontal y en vertical, repartiendo la información por toda el área disponible. ¡Justo la misma idea que habían tenido los monjes cistercienses ocho siglos antes!

La curiosidad de un investigador

Prácticamente todo lo que conocemos hoy día sobre el cifrado cisterciense se lo debemos a un investigador británico nacido en 1941 llamado David A. King, quien, después una larga trayectoria profesional dedicada a las culturas antiguas de, entre otros ámbitos, Egipto, la Europa medieval, el cercano Oriente y el Islam, decidió hacer una minuciosa investigación sobre la base de una gran cantidad de manuscritos antiguos para entender el significado de ciertos signos que no formaban parte del lenguaje habitual. En 2001 publicó un libro, muy documentado y ampliamente difundido hoy día, llamado Las cifras de los monjes: Un olvidada notación numérica de la Edad Media. El detonante que le decidió a iniciar este trabajo, según él mismo cuenta en su libro, fueron los misteriosos símbolos que observó grabados sobre un astrolabio francés del siglo XIV subastado por la casa Christie’s de Londres, que coincidían con otros similares que había visto en un manuscrito de la misma época en Normandía.

Gianluca Malatesta, agosto de 2021

Y esta no ha sido una evolución homogénea de la humanidad, sino el resultado de la adaptación a las necesidades de una sociedad cada vez más compleja. Durante siglos y hasta la actualidad han sobrevivido culturas que, por su sencilla forma de vida, no han tenido ninguna necesidad de contar (o no más allá de lo imprescindible), por lo que no han desarrollado la habilidad de hacerlo con una mínima soltura.

El caso más extremo es el de la etnia mlabri, tribu del sudeste asiático que tiene un lenguaje desarrollado, pero ninguna palabra sirve para nombrar cantidades. Los mlabri (la última vez que se supo de ellos, según dicen, no eran más de 300 individuos) solo te dirán si algo es mucho (nakobe) o poco (nemeroy). No saben contar ni les importa, aunque eso les pueda acarrear algún disgusto en sus relaciones con las tribus vecinas.

Contar las cosas, igual que medir el tiempo, es un logro de la mente humana que ha costado miles de años. Hoy nos permitimos mirar de reojo los números romanos, que consideramos una forma anticuada, incómoda y poco práctica de representar cantidades, pero, amigos míos, el quid de la cuestión está en que todavía se conocen y utilizan, y ya servían para ordenar las cosas en el siglo VII antes de Cristo, mientras que de los sistemas de numeración usados en la actualidad no hay rastro más allá del siglo V después de Cristo.

La numeración romana no tiene, ni mucho menos, el honor de ser la primera existente (los antiguos egipcios y babilonios ya tenían un sistema de numeración funcional de tipo decimal un milenio antes). Ni siquiera es el primero basado en caracteres alfabéticos (esa idea también la habían tenido ya los griegos jónicos, que la difundieron por el Mediterráneo oriental); pero, a diferencia de ellos, la numeración romana ha pervivido con continuidad y con buena salud, transmitiéndose de generación en generación hasta nuestros días.

Mucho tiempo contando cosas

Los números son uno de los patrimonios de nuestra civilización que nos parecen más inmutables, porque en todo nuestro entorno existe un estándar de numeración indiscutible (los números arábigos) que supera la barrera de naciones e idiomas, pero en la práctica existieron y siguen existiendo multitud de sistemas alternativos.

La primera evidencia material de numeración procede de Babilonia y son unas tablillas de barro encontradas en Irak, en lo que fueron las ciudades de Susa y Uruk, que según los expertos datan del 2200 a.C. No obstante, por referencias históricas, cabe pensar que mil años antes los egipcios ya tenían un sistema decimal que se conoce como sistema hierático.

Los sistemas de numeración babilónicos tuvieron mucho tiempo para perfeccionarse y, en el siglo IV a.C., los babilonios ya habían llegado a intuir el concepto del cero, del que hablaremos más adelante, aunque no lo incorporaron a un sistema posicional como el que utilizamos en la actualidad.

Y no debemos olvidar las experiencias desarrolladas por las culturas precolombinas del otro lado del charco. Así, por ejemplo, la civilización maya desarrolló un sistema de numeración que, curiosamente, era vigesimal en lugar de decimal, como el nuestro. Para entendernos: mientras que tú puedes representar todas las cifras diferentes que usas con los dedos de las dos manos, los mayas necesitaban todos los dedos de las manos y de los pies.

Los llamaron números arábigos, pero son de origen indio

Los números normales que aprendimos en el colegio corresponden a la que llamamos «numeración arábiga», un sistema posicional decimal. Esto significa que nos arreglamos con cifras que van del 0 al 9 y utilizamos la posición para representar conjuntos de cantidades, de manera que cada posición más a la izquierda de una cifra multiplica el valor de ésta por 10. Es decir, de derecha a izquierda: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. Y no te impacientes, que ya hemos terminado con la pequeña sesión de Barrio Sésamo.

Fíjate que para poder representar así los números es necesario que entendamos qué significa el cero (en el número 10, el cero es el que le «da sentido» a la cifra 1 que tiene a su izquierda). Para nosotros es evidente, pero los romanos no conocían el cero porque no lo necesitaban: en números romanos la cantidad, como sabes, se obtiene por acumulación de letras del alfabeto que suman o restan según determinadas reglas, lo que es muchísimo más engorroso. Sin tener en cuenta la implicaciones de todo orden que tiene sobre la aritmética, sólo por el hecho de posibilitar una numeración posicional le tenemos que otorgar al cero una importancia crucial en la historia del pensamiento humano.

Las evidencias parece que apuntan a que esta forma de numerar que incorporaba el cero fue inventada en la India en el siglo VI. Obviamente, entonces no usaban exactamente la grafía actual, pero ya tenían las ideas claras sobre cómo representar las cantidades de la misma manera en la que hoy lo hacemos. Conseguir que el resto del mundo lo diera por bueno fue cuestión de siglos, pero quedan rastros que demuestran que el invento era conocido. Así, por ejemplo, tenemos en España un fascinante manuscrito anónimo llamado Chronicon Albeldense o Codex Vigilanus, redactado en latín en el siglo IX, que, entre otras cosas maravillosas, contiene la primera representación de números arábigos que se conserva en la civilización occidental. Así pues, la numeración ya era conocida antes de que fuera redescubierta a partir de la aritmética árabe, pero por entonces poco tenía que hacer frente a la todopoderosa numeración romana.

Todo cambió tres siglos más tarde. Toma nota: la palabra guarismo procede del nombre de un señor (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, castellanizado como Al-Juarismi) que en el siglo IX publicó un tratado de álgebra en el que queda en evidencia que los árabes habían adoptado el sistema de numeración indio. En el siglo XII, un científico inglés llamado Abelardo de Bath tradujo al latín las tablas de Al-Khwarizmi junto con otras obras árabes que trataban temas de astronomía, lo que supuso su difusión por Europa y la adopción de la denominación de «números arábigos» para referirse a los glifos que representan estos números actualmente. A finales de ese mismo siglo, Leonardo de Pisa, considerado el mayor matemático de la Edad Media, escribió una obra llamada Liber Abaci, que consagraba definitivamente la numeración actual. Este tal Leonardo seguro que te sonará más por el nombre de Fibonacci, ya que su secuencia numérica se recuerda de manera recurrente. En realidad Fibonacci es sólo un mote heredado de su padre, al que llamaban el «bonachón» (Bonacci), y él terminó siendo el «filius Bonacci».

Reacios a los cambios

Resulta curioso y hasta divertido, cuando ya han sido cubiertos por la pátina del tiempo, los esfuerzos que se hicieron en un momento de la historia por evitar el inevitable progreso. Esto ocurrió con los números arábigos, y explica, entre otras cosas, que aparecieran otras formas de cifrado numérico como la numeración cisterciense, divertido asunto al que hemos dedicado otro artículo.

Aunque en el siglo XIII ya se había extendido el uso de la numeración arábiga, en 1299 el senado de Florencia prohibió su uso entre banqueros y comerciantes, obligando a utilizar en su lugar los números romanos. La Universidad de Padua también consideró nociva la nueva numeración. Gonzalo Menéndez Pidal nos cuenta que se obligaba a catalogar los libros «non per cifras sed per literas claras», y que un texto veneciano del siglo XIV lo justificaba en el hecho de que, con las cifras, se podían cometer fraudes fácilmente (transformando por ejemplo un cero en un 6 o un 9), en estos términos: «le qual’ figure antique solamente si fanno perque le non si possono cosi facilmente diffraudare como quelle dell’abaco moderno».

A pesar de estos reparos, la numeración arábiga recibió un definitivo impulso a partir del siglo XV, gracias a la invención de la imprenta de tipos móviles. Los editores necesitaban homogeneizar las numerosas formas de escribir y adoptar una tipografía concreta, y se decidieron por los números arábigos, más o menos con las formas con las que los conocemos hoy, lo que supuso, de facto, su difusión a lo largo y ancho del orbe. A pesar de ello, en determinados ámbitos continuó habiendo reticencias sobre su uso prácticamente hasta finales del siglo XVII.

Otras grafías, otros sistemas

Con la imprenta y el comercio como propulsores, pocos productos de la mente humana se han difundido tanto como los números arábigos. La civilización occidental ha mantenido vivos muchísimos idiomas, hablados por comunidades muy numerosas que garantizan su supervivencia; pero, aunque perviven hoy día diversas formas de numeración que mantienen vivas distintas culturas, sobre todo de Asia y África, sólo existe un sistema de numeración predominante e indiscutible, que ha sido el germen de todas las matemáticas que conocemos: los números arábigos.

Quedan para la historia aquellos otros sistemas de numeración ya extinguidos que le sirvieron de base y que, mucho tiempo antes, ya tenían la misma estructura y funcionalidad.

Nuestro visor de «hora oficial diletante» que encontrarás en esta página, y en el que reza el aviso «Cada cual mire la hora como más le deleite», permite jugar con algunos curiosos sistemas de numeración que hemos podido encajar en el formato clásico de fecha y hora, algunos extintos y otros todavía en uso, pero todos con una grafía verdaderamente singular e interesante. Te invitamos a probar.

Gianluca Malatesta, agosto de 2021